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2022 年广州市越秀区一模数学 T25 解题笔记

Published: at 04:06

题面

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题面

(1)

第一问还是比较简单的,所以简写一下。

EDG=60EDB+BED=EDB+CDG=120BED=CDGBEDCDG\because \angle EDG=60^\circ \\ \therefore \angle EDB+\angle BED= \angle EDB+\angle CDG=120 ^\circ \\ \therefore \angle BED=\angle CDG \\ \therefore \bigtriangleup BED \sim \bigtriangleup CDG \\

(2)

过程有点多,写个大纲差不多了。

这题让我们判断 CAEGC_{\bigtriangleup AEG} 是否为定值,我们可以先盲猜它是定值(毕竟一般这种题都是定值)。然后观察 AEG\bigtriangleup AEG 所在的位置,发现其中 EGEGAGAG 的位置比较刁钻,不好求,于是我们可以想到过点 EEACAC 的垂线,如图所示:

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复活!

这样是不是就把 EGEGAGAGEHEH 联系起来了(AG=AHGHAG=AH-GH),同时,AEAEAHAHEHEH 也联系起来了。但是,我们是不知道它们的具体数值的,于是我们直接设元:设 BE=aAE=6aBE=a,AE=6-a。这里我们需要注意到,为了求 AGAG 关于 aa 的表达式,我们需要 CGCG,而 CGCG 需要用第一问的相似得到,所以我们设 BEBE 为基本单位。

有了上面的准备之后,剩下的直接爆算。

BEDCDGBDCG=BECD3CG=a3CG=9aAG=ACCG=69a\because \bigtriangleup BED \sim \bigtriangleup CDG \\ \therefore \frac{BD}{CG}=\frac{BE}{CD} \Rightarrow \frac{3}{CG}=\frac{a}{3} \Rightarrow CG=\frac{9}{a} \\ \therefore AG=AC-CG=6-\frac{9}{a}

至此,AEG\bigtriangleup AEG 中的 AEAEAGAG 都用 aa 表达出来了,只剩下 EGEG 了。那么如何求 EGEG 呢?这是很好办的,AHE=90AE=a\angle AHE=90^\circ,AE=a,因此可以用三角函数求出 AHAHEHEH 关于 aa 的表达式。

EH=AE×sinA=3332aAH=AE×cosA=12×(6a)=3a2GH=GCCH=(ACAG)(ACAH)=ACAGAC+AH=AHAG=3a269a=9a3a2EH=AE \times \sin A=3 \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}a \\ AH=AE \times \cos A=\frac{1}{2} \times (6-a)=3-\frac{a}{2} \\ GH=GC-CH=(AC-AG)-(AC-AH)=AC-AG-AC+AH=AH-AG=3-\frac{a}{2} - 6-\frac{9}{a}=\frac{9}{a}-3-\frac{a}{2}

然后在 EGH\bigtriangleup EGH 中使用勾股定理:

EG=GH2+EH2=a3+9aEG=\sqrt{GH^2+EH^2}=a-3+\frac{9}{a}

至此,AEG\bigtriangleup AEG 的三边都用 aa 表示出来了,所以直接求周长就好啦。

CAEG=9\therefore C_{\bigtriangleup AEG}=9

(3)

有了前面两问,第三问不是易如反掌?

首先,三角形的内切圆圆心是它的三个角平分线的交点,它到三边的距离相等。其实不知道也可以

所以我们直接拿内切圆半径公式求就行了,r=2×SCr=\frac{2\times S}{C}。这个柿子很好推我就不推了。

第二问中,我们求出了 CEGHC_{\bigtriangleup EGH},差个面积。而要求面积,就要 AGAGEHEH,这两个玩意我们都已经用 aa 表示出来了,所以求 aa 就行了。那么怎么求 aa 呢?可以发现第三中它给了一个 S1=3S2S_{1}=3 S_{2},因为这两个三角形高是相等的,所以它们的面积之比就等于底边之比,即 DFGF=31\frac{DF}{GF}=\frac{3}{1},故有 DF=34DGDF=\frac{3}{4}DG,易证 DEF\bigtriangleup DEF 是等边三角形,故 DF=DEDF=DE,即 DF=34DGDF=\frac{3}{4}DG,然后用第一问的相似和第二问中设的元列出一个关于 aa 的方程,解出 aa,代入计算即可。

最后答案为 5312\frac{5\sqrt{3}}{12}